Institut des
NanoSciences de Paris
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Probabilité : des statistiques bayésiennes pour l’analyse des données aux fondements de la mécanique quantique

Des sujets très différents tel que l’analyse bayésiennes des données et la fondation de la mécanique quantique sont reliés par une définition commune de la probabilité basée sur la logique. Les fondements des statistiques bayésiennes relèvent de cette approche moyennant quelques hypothèses. Au même temps, dans le cadre de la Mécanique Quantique Relationnelle, la définition de la probabilité par la logique permet de réduire de trois à deux le nombre de postulats nécessaires à sa formulation.

Nested_fit : un programme d’analyse de données basé sur les statistiques bayésiennes

Nested_fit est un programme basé sur la statistique bayésienne [1]. En plus de fournir des résultats similaires au programme standard basé sur la maximisation de la fonction de vraisemblance ou la minimisation du chi-carré, il détermine la distribution de probabilité complète pour chaque paramètre et la probabilité conjointe de paires de paramètres. Plus remarquablement, il fournit l’évidence bayésienne, une quantité nécessaire pour comparer différents modèles (c’est-à-dire des hypothèses, comme la présence ou non de pics supplémentaires ou le choix du profil décrivant un pic). Dans le cas de plusieurs modèles équiprobables, les sorties de Nested_fit peuvent être utilisées pour extraire la distribution de probabilité d’un paramètre commun aux différents modèles (la position d’une composante spectrale principale par exemple) sans avoir à discriminer entre les différents modèles possibles pour le spectre considéré. Le calcul de l’évidence est basé sur l’algorithme « nested » présenté dans la littérature (Sivia and J. Skilling, Data analysis : a Bayesian tutorial, 2006 Oxford University Press), qui réduit une intégrale n-dimensionnelle (l’intégrale de la fonction de vraisemblance dans l’espace à n paramètres) à une intégrale unidimensionnelle. Nested_fit est écrit en Fortran90 avec quelques routines complémentaires en Python pour la visualisation des résultats et pour effectuer des analyses automatiques de séries de données. Il a été implémenté pour l’analyse de spectres de différentes natures : spectres d’émission de rayons X d’ions lourds multichargés [1], spectres d’émission de rayons X d’atomes pioniques [1-3] et spectres de photoémission de nanoparticules [4].

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Figure 1
Gauche : courbes de profil correspondant aux maxima de vraisemblance des différents modèles avec un nombre différents de pics. Droite : Distribution des probabilités de la position du pic principal à partir des probabilités de chaque modèle (figures provenant de réf. [1]).

Publications

[1] M. Trassinelli, Bayesian data analysis tools for atomic physics, Nucl. Instrum. Methods B 408, 301-312 (2017)

[2] M. Trassinelli, D.F. Anagnostopoulos, G. Borchert, A. Dax, J.P. Egger, D. Gotta, M. Hennebach, P. Indelicato, Y.W. Liu, B. Manil, N. Nelms, L.M. Simons, and A. Wells, Measurement of the charged pion mass using X-ray spectroscopy of exotic atoms, Phys. Lett. B 759, 583-588 (2016)

[3] M. Trassinelli, D.F. Anagnostopoulos, G. Borchert, A. Dax, J.-P. Egger, D. Gotta, M. Hennebach, P. Indelicato, Y.-W. Liu, B. Manil, N. Nelms, L.M. Simons, and A. Wells, Measurement of the charged pion mass using a low-density target of light atoms, EPJ web conf. 130, 01022 (2016)

[4] I. Papagiannouli, M. Patanen, V. Blanchet, J.D. Bozek, M. de Anda Villa, M. Huttula, E. Kokkonen, E. Lamour, E. Mevel, E. Pelimanni, A. Scalabre, M. Trassinelli, D.M. Bassani, A. Lévy, and J. Gaudin, Depth Profiling of the Chemical Composition of Free-Standing Carbon Dots Using X-ray Photoelectron Spectroscopy, The Journal of Physical Chemistry C 122, 14889-14897 (2018)

La règle de Born (et le formalisme de la Mécanique Quantique) à partir de deux postulats

La Mécanique Quantique Relationnelle est une approche pour la fondation de la Mécanique Quantique avec seulement trois postulats. Initialement formulé par Rovelli en 1996, la Mécanique Quantique Relationnelle est basée sur le nombre limité d’informations pouvant être extraites de l’interaction de différents systèmes, avec un troisième postulat pour définir les propriétés de la fonction de probabilité. Nous démontrons qu’à partir d’une définition rigoureuse de la probabilité conditionnelle pour les résultats possibles de différentes mesures, le troisième postulat devient inutile et la règle de Born émerge naturellement des deux premiers postulats en appliquant le théorème de Gleason. Nous démontrons en outre que la fonction de probabilité est uniquement définie pour les phénomènes classiques et quantiques. La présence ou non de termes d’interférence est en fait liée à la formulation correcte de la probabilité conditionnelle où la propriété distributive dans ses arguments ne peut être tenue pour valable par défaut.

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Publications

[1] M. Trassinelli, Relational Quantum Mechanics and Probability, arXiv preprint arXiv:1803.02644 (2018), submitted to Foundations of Physics